STAR model

一篇松散的笔记。 对资产报酬率的非线性动态调整过程的研究，通常有两种模型，一种为门槛自回归模型（threshold autoaggresive model,简称TAR），这种模型设定不同状态间的转换是瞬间转换或是突然跳跃（suddenly jump）的。另一种方式则是透过单调连续的平滑转换函数，使得两个极端状态之间的参数转换为平滑且连续的模型，即平滑转换自回归模型（smooth tansition autoaggresive model,STAR）在TAR模型中，主要假设市场参与者拥有相同的交易成本，而STAR模型则是考虑市场参与者具有异质(Idiosyncratic)交易成本的现象，会使时间序列变数呈现平滑转换的走动趋势。

一般来说，STAR模型更合适，因为多数结构型转变对变数的影响要通过一段时间才能反映出来。此外，就算变数的结构转变真是突然发生的，STAR模型依然可以处理，解释为状态间的快速转换。所以STAR模型有较大的弹性和应用性。

这里是pair trading中的套用，$y_t$ 表示 return spread ，$h_t$ 为t-1时刻下$y_t$的方差，$\mu_t$ 均值。$t*(v)$ 表示一个标准化的t分布，自由度为v。$Z_t$ 是门槛值变量，F为转换函数。一个值介于0和1之间的连续函数。$d$ 是一个正的转换变数落后期，$\gamma$ 为转换函数的调整速度，可以决定函数的平滑度。 $F\left( \cdot \right)=0$与$F\left( \cdot \right)=1$表示不同的经济状态。 因此，STAR模型可以被视为随着F在两种状态下变化的状态转换模型，c 为门槛值，就是两种经济状态的门槛，转换以平滑的方式发生。

STAR模型的转换函数有两种，Logistic 与 Exponential 两种。 因为 Exponential STAR 模型无法显示出股票市场在牛市，熊市下不同的动态调整过程，因为该模型隐含在两种情况下存在相同的动态调整过程，所以这里选用 Logistic STAR 模型。 Logistic STAR 模型（second order）的公式如上。选择 $c_1 = -1$,$c_2 = 1$，当$\gamma$变化时，F函数形状如下。当$\gamma\rightarrow \infty$ 时，函数变为一个分段函数。